签捕书（逮捕证）是由 公安机关或 人民检察院签发的。具体下发流程如下：
人民检察院批准逮捕
公安机关在接到人民检察院的批准逮捕决定书后，应当由县级以上公安机关负责人签发逮捕证，并立即执行逮捕。
逮捕证的具体签发和执行过程需要遵循《公安机关办理刑事案件程序规定》的相关条款。
人民法院决定逮捕
在审判阶段，人民法院有权依法决定逮捕，并由公安机关执行。
人民法院在决定逮捕时，会制作决定逮捕书或逮捕决定书，送交公安机关，公安机关根据这些文书签发逮捕证。
总结：
签捕书（逮捕证）的下发机关为 公安机关或 人民检察院，具体由人民检察院批准逮捕并由公安机关执行，或由人民法院决定逮捕并由公安机关执行。